Équation diophantienne 29x - 11y = 5 - Corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation \((E) \colon 29x-11y=5\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour \(29\) et \(11\) :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r \\ \hline 29&11&2&7\\ \hline 11&7&1&4\\ \hline 7&4&1&3\\ \hline 4&3&1&1\\ \hline 3&1&3&0\\ \hline \end{array} \begin{array}{ll}\ \\ \times (-3) & \text{suppression du reste } 7\\ \times 2 & \text{suppression du reste } 4\\ \times (-1) & \text{suppression du reste } 3\\ \times 1 & \text{conservation du PGCD}\\ \ \end{array}\end{align*}\)  
On a donc \(\mathrm{PGCD}(29;11)=1\) , et comme \(1\) divise \(5\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.

En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient :
\(\begin{align*}29 \times (-3)+11 \times 2=11 \times 2 \times (-3)+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 29 \times (-3)+11 \times 8=1\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 29 \times (-15)+11 \times 40=5\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 29 \times (-15)-11 \times (-40)=5\end{align*}\)  
donc \((x_0;y_0)=(-15;-40)\) est une solution particulière de \((E)\) .

Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
On a  \(\begin{align*}29x-11y=29 \times (-15)-11 \times (-40)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 29(x+15)=11(y+40)\end{align*}\) . 
On en déduit que \(29\) divise \(11(y+40)\) .
Or \(\mathrm{PGCD}(11;29)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(29\) divise \(y+40\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}y+40=29k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=29k-40\end{align*}\) .
On a alors
\(\begin{align*}29(x+15)=11(y+40)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 29(x+15)=11 \times 29k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+15=11k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=11k-15.\end{align*}\)    
Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(11k-15;29k-40)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(11k-15;29k-40)\) .
On a  \(\begin{align*}29x-11y& = 29(11k-15)-11(29k-40)= 29 \times (-15)+11 \times 40= 5\end{align*}\)  donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .

En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(11k-15;29k-40) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .